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docs/en/OFDM-introduction.md

@@ -17,9 +17,9 @@ To prove their orthogonality over one period, consider the inner product of thes
 $\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt$
 
 Using trigonometric identities, we can simplify this integral. Using the identity:
-$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
+$$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$
 we can expand the integral into the difference of two cosine functions:
-$\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [\cos((\omega_1 - \omega_2) t) - \cos((\omega_1 + \omega_2) t)] \, dt$
+$$\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [\cos((\omega_1 - \omega_2) t) - \cos((\omega_1 + \omega_2) t)] \, dt$$
 
 Since $\omega_1$ and $\omega_2$ are different frequencies, both $(\omega_1 - \omega_2)$ and $(\omega_1 + \omega_2)$ are non-zero. Therefore, the integrals of these cosine functions over one period are zero. This means that $\sin(\omega_1 t)$ and $\sin(\omega_2 t)$ have an inner product of zero over one period, i.e., they are orthogonal over one period.
 

docs/zh_CN/OFDM-introduction.md

@@ -4,7 +4,8 @@
 
 ## 正交的定义
 
-在数学中，两个函数（或向量）被称为正交，如果它们在给定区间上的内积为零。更具体地说，考虑两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上，它们的内积可以表示为积分：$$\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) \, dx$$
+在数学中，两个函数（或向量）被称为正交，如果它们在给定区间上的内积为零。更具体地说，考虑两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上，它们的内积可以表示为积分：
+$$\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) \, dx$$
 
 如果这个积分结果为零，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是正交的。
 
@@ -14,8 +15,10 @@
 
 证明它们在一个周期内的正交性，对于这两个正弦函数，在一个周期 $[0, T]$ 上的内积可以表示为：$$\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt$$
 
-由于正弦函数的性质，这个积分可以通过使用三角恒等式进行简化。利用三角恒等式 $$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$
-我们可以将上述积分展开为两个余弦函数的差：$$\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [\cos((\omega_1 - \omega_2) t) - \cos((\omega_1 + \omega_2) t)] \, dt$$
+由于正弦函数的性质，这个积分可以通过使用三角恒等式进行简化。利用三角恒等式 
+$$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$
+我们可以将上述积分展开为两个余弦函数的差：
+$$\int_{0}^{T} \sin(\omega_1 t) \sin(\omega_2 t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [\cos((\omega_1 - \omega_2) t) - \cos((\omega_1 + \omega_2) t)] \, dt$$
 
 由于 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 是不同的频率，$(\omega_1 - \omega_2)$ 和 $(\omega_1 + \omega_2)$ 都不为零。因此，这两个余弦函数在一个周期内的积分都为零。这意味着 $\sin(\omega_1 t)$ 与 $\sin(\omega_2 t)$ 在一个周期内的内积为零，即它们在一个周期内是正交的。
 
@@ -35,53 +38,66 @@
 
 我们知道，$\sin^2(\omega_1 t)$ 在一个周期内的积分为其周期的一半：$$\int_{0}^{T} \sin^2(\omega_1 t) \, dt = \frac{T}{2}$$
 
-因此，解码出的信号 a 为：$$a \times \frac{T}{2}$$通过这种方法，接收端能够独立解码每个子信号 𝑎 和 𝑏，因为正交性确保了其他子信号对积分的贡献为零。
+因此，解码出的信号 a 为：$$a \times \frac{T}{2}$$
+通过这种方法，接收端能够独立解码每个子信号 𝑎 和 𝑏，因为正交性确保了其他子信号对积分的贡献为零。
 
-选取 $sin(\omega_1 t)$ 和 $sin(\omega_2 t)$ 作为例子，正是因为它们是介于直观和抽象的过渡地带。上面的正交模型虽然简单，但是却是所有复杂理论的基础。
+选取 \( \sin(\omega_1 t) \) 和 \( \sin(\omega_2 t) \) 作为例子，正是因为它们是介于直观和抽象的过渡地带。上面的正交模型虽然简单，但是却是所有复杂理论的基础。
 
-下一步，将 $sin(t)$ 和 $sin(2t)$ 的模型扩展到更多的子载波序列 \{ $\sin(2T \Delta f \cdot t)$, $\sin(2T \Delta f \cdot 2t)$, $\sin(2T \Delta f \cdot 3t)$, $\ldots$, $\sin(2T \Delta f \cdot kt)$ \}  (例如 $k=16, 256, 1024$ 等)，其中，$2π$ 是常量，$\Delta f $ 是事先选好的载频频率间隔，$T$ 是周期， $k$ 是序列的最大索引。
+下一步，将 $sin(\omega_1 t)$ 和 $sin(\omega_2 t)$ 的模型扩展到更多的子载波序列 $\{ \sin(2T \Delta f \cdot t), \sin(2T \Delta f \cdot 2t), \sin(2T \Delta f \cdot 3t), \ldots, \sin(2T \Delta f \cdot kt) \}$ （例如 $k=16, 256, 1024$ 等），其中，$2\pi$ 是常量，$ \Delta f$ 是事先选好的载频频率间隔，$T$ 是周期， $k$ 是序列的最大索引。
 
-多个函数的正交性是基于它们两两之间的正交，如果一组函数 {𝑓₁(𝑡), 𝑓₂(𝑡), ..., 𝑓ₙ(𝑡)} 在某个区间上成对正交，那么对于任意 𝑖≠𝑗，都有：$$\int_{a}^{b} 𝑓_{𝑖}(𝑡) 𝑓_{𝑗}(𝑡) dt = 0$$这意味着，每一对不同的函数 $𝑓_𝑖(𝑡)$ 和 $𝑓_𝑗(𝑡)$ 的内积为零。上述子载波序列之间的正交性很容易通过 $\Delta f $ ≠ 0 推理证明。
+多个函数的正交性是基于它们两两之间的正交。如果一组函数 ${𝑓₁(𝑡), 𝑓₂(𝑡), ..., 𝑓ₙ(𝑡)}$ 在某个区间上成对正交，那么对于任意 𝑖≠𝑗，都有：
+$\int_{a}^{b} 𝑓_{𝑖}(𝑡) 𝑓_{𝑗}(𝑡) \, dt = 0$
+这意味着，每一对不同的函数 $𝑓_𝑖 (𝑡)$ 和 $𝑓_𝑗 (𝑡)$ 的内积为零。上述子载波序列之间的正交性很容易通过 $\Delta f \neq 0$ 推理证明。
 
 频率间隔的影响：如果 $\Delta f$ 被选得足够小，使得 $2T \Delta f \cdot k$ 的范围包括整个频谱，这确保了所有的正弦波都在频率上不重叠。这样，每个正弦波在 $[0, T]$ 的完整周期内，它们的乘积积分为 0。
 
-再下一步，将 $cos(t)$ 也引入。容易证明，$cos(t)$ 与 $sin(t)$ 是正交的，也与整个 $sin(kt)$ 的正交族相正交。同样，$cos(kt)$ 也与整个 $sin(kt)$ 的正交族相正交。
+再下一步，将 $\cos(t)$ 也引入。容易证明，$\cos(t)$ 与 $\sin(t)$ 是正交的，也与整个 $\sin(kt)$ 的正交族相正交。同样，$\cos(kt)$ 也与整个 $\sin(kt)$ 的正交族相正交。
 
-因此序列模型扩展到$ {sin(2T△ft),sin(2T△f·2t),..,sin(2T△fkt),cos(2T△ft),cos(2T·△f·2t),..,cos(2T△fkt)}$ 也就顺理成章。
+因此，序列模型扩展到 $\{ \sin(2T \Delta f \cdot t), \sin(2T \Delta f \cdot 2t), \ldots, \sin(2T \Delta f \cdot kt), \cos(2T \Delta f \cdot t), \cos(2T \Delta f \cdot 2t), \ldots, \cos(2T \Delta f \cdot kt) \}$ 也就顺理成章。
 
-经过前两步的扩充，选好了2组正交序列 $sin(kt)$ 和 $cos(kt)$，这只是传输的"介质"。真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即 $sin(t),sin(2t),..,sin(kt)$ 分别幅度调制 $a1,a2,..,ak$ 信号，$cos(t),cos(2t),..,cos(kt)$ 分别幅度调制 $b1,b2,..,bk$ 信号。这 2n 组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下，得到信号 $f(t)$的表达式（公式 1-1）：
+经过前两步的扩充，选好了2组正交序列 $\sin(kt)$ 和 $\cos(kt)$，这只是传输的"介质"。真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即 $\sin(t), \sin(2t), \ldots, \sin(kt)$ 分别幅度调制 $a1, a2, \ldots, ak$ 信号，$\cos(t), \cos(2t), \ldots, \cos(kt)$ 分别幅度调制 $b1, b2, \ldots, bk$ 信号。这 2n 组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下，得到信号 $f(t)$ 的表达式（公式 1-1）：
 $$f(t) = \sum_{k=1}^{N} a_k \sin(2T \Delta f_k t) + \sum_{k=1}^{N} b_k \cos(2T \Delta f_k t)$$
 
-其中，$a_k$ 和 $b_k$ 是系数， $\Delta f_k$ 是频率间隔， $T$ 是周期，$k = 1, 2, \ldots, N$ 现在，我们将$f(t)$ 表示为复数形式。
+其中，$a_k$ 和 $b_k$ 是系数， $\Delta f_k$ 是频率间隔， $T$ 是周期， $k = 1, 2, \ldots, N$。
 
-正弦波和余弦波可以用复指数形式表示，是因为它们是复指数函数的实部和虚部。具体来说，需要用到欧拉公式。
+现在，我们将 $f(t)$ 表示为复数形式。正弦波和余弦波可以用复指数形式表示，是因为它们是复指数函数的实部和虚部。具体来说，需要用到欧拉公式。
 
-欧拉公式表明，对于任意实数 $\theta$，复指数 $e^{j\theta} $ 可以表示为：$$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$这意味着 $e^{j\theta}$ 是一个单位圆上的点，它在复平面上的实部是 $\cos(\theta)$，虚部是 $\sin(\theta)$。
+欧拉公式表明，对于任意实数 $\theta$，复指数 $e^{j\theta}$ 可以表示为：
+$$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$
 
-根据欧拉公式，我们可以写出实部和虚部为：$$\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} $$
+这意味着 $e^{j\theta}$ 是一个单位圆上的点，它在复平面上的实部是 $\cos(\theta)$，虚部是 $\sin(\theta)$。
 
+根据欧拉公式，我们可以写出实部和虚部为：
+$$\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$$
 $$\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}$$
 
-这些公式是通过将$ e^{j\theta}$ 和 $e^{-j\theta} $ 的和与差进行组合得到的。
+这些公式是通过将 $e^{j\theta}$ 和 $e^{-j\theta}$ 的和与差进行组合得到的。
 
 复指数函数 $e^{j\theta}$ 具有周期性、正交性和线性组合的性质，能够简洁地表示频率、幅度和相位。因此，使用复指数形式不仅有利于理论推导和分析，也方便了在数值计算和算法实现中的处理。
 
-下面把正弦波序列和余弦波序列用复指数形式表示：$$\sin(2T \Delta f_k t) = \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} - e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2j}$$
+下面把正弦波序列和余弦波序列用复指数形式表示：
+$$\sin(2T \Delta f_k t) = \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} - e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2j}$$
 
-$$\cos(2T \Delta f_k t) = \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2}$$
+$$ \cos(2T \Delta f_k t) = \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2}$$
 
 将 $f(t)$ 转换为复数形式：
 $$f(t) = \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} - e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2j} + \sum_{k=1}^{N} b_k \cdot \frac{e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}}{2}$$
+
 这可以进一步简化为：
 $$f(t) = \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{a_k - jb_k}{2} e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + \frac{a_k + jb_k}{2} e^{-j 2 \pi \Delta f_k t} \right)$$
 
-我们定义复数形式的频谱成分$ F_k$ ：$F_k = \frac{a_k - jb_k}{2}$
+我们定义复数形式的频谱成分 $F_k$ 为：$F_k = \frac{a_k - jb_k}{2}$
 
-这样，信号 $f(t)$ 可以用 $F_k$ 表示为公式 1-2：$$f(t) = \sum_{k=1}^{N} F_k e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + \sum_{k=1}^{N} F_k^* e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}$$其中，$ F_k^* $ 是 $F_k $ 的复共轭。这种复数形式更方便处理正弦波和余弦波的组合，特别在数字信号处理和通信系统中广泛应用。
+这样，信号 $f(t)$ 可以用 $F_k$ 表示为公式 1-2：
+$$f(t) = \sum_{k=1}^{N} F_k e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + \sum_{k=1}^{N} F_k^* e^{-j 2 \pi \Delta f_k t}$$
 
-上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是$f(t)$。接收端收到杂糅信号$f(t)$ 后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。
-然后看看公式1-1和公式1-2，其实这就是傅里叶级数。如果将离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有了后面 OFDM 以 FFT 来实现的故事。将在下面的章节进行更多的描述。
-遵循古老的传统，$F$ 表示频域，$f$ 表示时域，由于频域信息就是各个频率分量的幅度和相位，信号 $f(t)$ 的频域信息直接由这些复数系数 $F_k$ 构成。每个 $F_k$ 对应频率 $\Delta f_k$ 的幅度和相位，这正是频域表示的核心内容。所以可以从公式 1-2 中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM 传输的是频域信号。
+其中，$F_k^*$ 是 $F_k$ 的复共轭。这种复数形式更方便处理正弦波和余弦波的组合，特别在数字信号处理和通信系统中广泛应用。
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+上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是 $f(t)$。接收端收到杂糅信号 $f(t)$ 后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。
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+然后看看公式 1-1 和公式 1-2，其实这就是傅里叶级数。如果将离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有了后面 OFDM 以 FFT 来实现的故事。
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+遵循古老的传统，$F$ 表示频域，$f$ 表示时域。由于频域信息就是各个频率分量的幅度和相位，信号 $f(t)$ 的频域信息直接由这些复数系数 $F_k$ 构成。每个 $F_k$ 对应频率 $\Delta f_k$ 的幅度和相位，这正是频域表示的核心内容。因此，可以从公式 1-2 中看出，每个子载波上调制的幅度就是频域信息。类似地，OFDM 传输的是频域信号。
 
 ## 频域 OFDM
 
@@ -98,14 +114,14 @@ $$f(t) = \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{a_k - jb_k}{2} e^{j 2 \pi \Delta f_k t} + \
 
 我们用公式（1-3）描述这一过程：
 
-$f(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} F_k e^{\frac{2\pi i k n}{N}}$
+$$f(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} F_k e^{\frac{2\pi i k n}{N}}$$
 
 其中：
 
-- $f(n)$ 是时域离散化后的序号为 $n$ 的点对应的值。
-- $F_k$ 是频域中频率序号为 $k$ 的点对应的值。
-- $N$ 是总的FFT/IFFT点数，通常等于信号的采样点数。
-- $n$ 和 $k$ 都是整数，范围是1到N。
+- $f(n)$ 是时域离散化后的序号为 $n$ 的点对应的值
+- $F_k$ 是频域中频率序号为 $k$ 的点对应的值
+- $N$ 是总的FFT/IFFT点数，通常等于信号的采样点数
+- $n$ 和 $k$ 都是整数，范围是 1 到 N
 
 这个公式描述了如何从频域 $F_k$ 转换回时域 $f(n)$，即从频域到时域的逆变换。